“什么是 Vrms ？ 如何推導正弦波的 RMS 值？ ”

熟悉我的讀者都知道，在電子技術類文章中，我始終避免預設讀者具備微積分基礎。我始終認為，即使在極客群體中，真正精通微積分的人也是鳳毛麟角。許多大學的微積分課程充斥著填鴨式教學——那些解釋不清的公式需要耗費大量時間死記硬背，卻只需轉瞬就能忘得干干凈凈。雖然某些推導確實無法繞開數學工具，但在絕大多數情況下，電氣工程類文章對微積分的依賴根本毫無必要。

今天，我要針對當前谷歌搜索排名第一的均方根電壓（Vrms）公式推導方法提出尖銳批評。這個推導過程充斥著以下問題：

? 到底什么是 Vrms? 在電路設計中，常需計算已知電阻上隨時間變化的電壓信號所消耗的功率。例如，設計驅動音響的功放電路時，需確保功率不超過揚聲器線圈的額定值（以瓦特為單位）。現代功放多以電壓信號驅動，而揚聲器阻抗固定，因此需建立電壓與功率的等效關系。

計算功率的公式為：

如果電壓是恒定的，這個公式沒有問題，但如果信號隨時間變化呢？

為了回答該問題，我們以一個10Ω負載和分三個離散階躍變化（1V、10V，再回到1V）的電源電壓構成的簡化示例進行分析。在這種設置中，每個時間段本質上都是獨立的‘穩態’情景，因此可以相應地拆分計算步驟：

這樣，我們就可以計算出一個簡單的算術平均值，從而得到負載在一段時間內的平均耗散功率：

該結果雖然正確，但這種計算方式并不總是便捷。例如，當涉及超過三個電壓等級時，針對不同音量旋鈕位置重新計算總和將十分繁瑣。若我們能找到一個等效直流電壓，使其在負載上消耗的功率與待研究的交流信號相同，便能以更直接的方式建模音量與功率的關系。

然而如何計算該等效電壓？是否僅對各時間段電壓取算術平均值？讓我們深入探究：

? 結果并不一致。問題出在功率方程中的 V2 項。為了找出正確的方法，我們可以用符號來求解示例中的功率方程。

組成方程為 P0 = V0 / R、P1 = V1 / R 和 P3 = V3 / R，因此：

換一種描述方式：

該表達式的前半部分正是電壓平方的算術平均值，恰好占據原恒壓公式中 V2 的位置！換言之，我們先將原始波形進行平方運算，然后計算其標準算術平均值。

無論如何，我們暫且將這個特殊平均值稱為x，并驗證其數學合理性：

但從物理意義上說，x 究竟代表什么？它并不能代替原始功率表達式中的電壓；請記住，它取代的是電壓的平方 (V2)。要得到我們說過的功率等效電壓，我們需要計算這個值的平方根。

而這正是‘均方根電壓’（Vrms）的定義：它是波形平方（S）的算術平均值（M）的平方根（R）。本例中，Vrms = √34 ≈ 5.831 V。我們只需將 Vrms 除以二，即可模擬輸入信號振幅減半對耗散功率的影響。

方波在兩個電壓（Vlo和 Vhi）之間交替變化的情況與本節前面討論的方法類似，只是我們只需要計算兩個點的平均值，而不是三個點的平均值：

但對于連續變化的信號該如何處理？

正弦函數的 Vrms

在模擬電子領域，我們常需處理正弦信號--此時維基百科通常會引入微積分進行推導。但我們能否避開復雜的積分運算？

答案是可以！回顧可知，計算任意波形的均方根值（RMS），需對波形進行平方（S）、取算術平均（M）、再開平方根（R）三步操作。

我們可以先將波形平方。給定峰值振幅 Vp 的正弦波信號的一般方程如下：

將右側平方后得到：

表達式中唯一隨時間變化的部分是 sin2(...) 函數。讓我們使用一個新符號 Sm 來表示其平均值。這樣，我們就可以用下面的方式寫出 Vrms 表達式：

現在，我們要做的就是找出 Sm。要找到任何周期性波形的平均值，我們只需考慮一個周期；任何重復序列的平均值都與單個周期的平均值相同：

在計算sin2(...)的周期時，必須與平方前的正弦函數周期對齊，即參數范圍應限定在0°至360°之間。但即便如此，我們仍需對無限個連續變化的值進行平均運算！

幸運的是，三角函數提供了解決方案。讓我們拋開具體的 Vrms 情景，考慮一個由常規三角函數描述的臨時構建的直角三角形：

假設我們知道斜邊的長度--稱之為 n--并知道角度 a。很明顯，垂直邊的高等于 sin(a) ×n，水平邊的長度等于 cos(a) ×n。

這是一個直角三角形，我們還可以用勾股定理來描述它的邊之間的關系：斜邊的平方等于對邊的平方加鄰邊的平方。

我們已經知道了這些邊的值，斜邊是 n，其他邊由角度 a 的三角函數給出：

這一普適性法則揭示了正弦平方與余弦平方之間的奇妙關系，被稱為畢達哥拉斯恒等式。

現在，讓我們回到 RMS 的難題上。為了解釋下一步，想象一下你只在儲蓄罐里放 5 美元的鈔票，那么儲蓄罐里鈔票的平均值必然是 5 美元。同樣，如果存在這樣一個約束條件，即對于每個給定的 a，sin2(a) + cos 2(a)之和等于 1，那么在任何常見角度范圍內，sin2(...)和 cos2(...) 的平均值之和必然具有相同的性質。我們之前引入了 Sm 來表示 sin2(...) 的算術平均數；采用 Cm 來表示 cos2(...)，我們可以得到：

在從 0° 到 360° 的跨度內，正弦函數和余弦函數都完成了一個周期；它們產生了兩個完全相同的波形，只是在時間上有所偏移。每當 sin(...) = 0.5 時，就會有一個 cos(...) = 0.5 的對應點：

事實上，我們可以通過對余弦部分進行一些處理來說明這一點：

由于波形基本相同，sin(α) 的全周期平均值等于 cos(a) 的全周期平均值。將 sin(a) 和 cos(a) 的每個值平方并不會改變這種關系：我們最終會得到新的曲線，但它們仍然是一條直線，而且每條曲線上的任意兩點之間仍然存在 1:1 的對應關系。sin2(a) 的周期-均值一定與 cos2(a) 的周期-均值相同。根據這一觀察結果，我們終于可以算出 Sm 的值：

換句話說，我們已經確定 sin2(...) 波形在 0° 和 360° 之間的平均值為 ?。將其插入先前的 Vrms 公式，我們就得到了峰值振幅為 Vp 的 0 V 中心正弦波的通用公式：

證明完畢，搞定！（小編注：其實還不如用微積分來得方便...）

本文轉載自（經過編譯及校對）： https://lcamtuf.substack.com/p/whats-root-mean-square-voltage

注意：如果想第一時間收到 KiCad 內容推送，請點擊下方的名片，按關注，再設為星標。

常用合集匯總：

和 Dr Peter 一起學 KiCad

KiCad 8 探秘合集

KiCad 使用經驗分享

KiCad 設計項目（Made with KiCad）

常見問題與解決方法

KiCad 開發筆記

插件應用

發布記錄

審核編輯 黃宇