對于初學數字信號處理（DSP）的人來說，這幾種變換是最為頭疼的，它們是數字信號處理的理論基礎，貫穿整個信號的處理。

學習過《高等數學》和《信號與系統》這兩門課的朋友，都知道時域上任意連續的周期信號可以分解為無限多個正弦信號之和，在頻域上就表示為離散非周期的信號，即時域連續周期對應頻域離散非周期的特點，這就是傅里葉級數展開（FS），它用于分析連續周期信號。

FT是傅里葉變換，它主要用于分析連續非周期信號，由于信號是非周期的，它必包含了各種頻率的信號，所以具有時域連續非周期對應頻域連續非周期的特點。

FS和FT 都是用于連續信號頻譜的分析工具，它們都以傅里葉級數理論問基礎推導出的。時域上連續的信號在頻域上都有非周期的特點，但對于周期信號和非周期信號又有在頻域離散和連續之分。

在自然界中除了存在溫度，壓力等在時間上連續的信號，還存在一些離散信號，離散信號可經過連續信號采樣獲得，也有本身就是離散的。例如，某地區的年降水量 或平均增長率等信號，這類信號的時間變量為年，不在整數時間點的信號是沒有意義的。用于離散信號頻譜分析的工具包括DFS，DTFT和DFT。

DTFT是離散時間傅里葉變換 ，它用于離散非周期序列分析，根據連續傅里葉變換要求連續信號在時間上必須可積這一充分必要條件，那么對于離散時間傅里葉變換，用于它之上的離散序列也必 須滿足在時間軸上級數求和收斂的條件；由于信號是非周期序列，它必包含了各種頻率的信號，所以DTFT對離散非周期信號變換后的頻譜為連續的，即有時域離 散非周期對應頻域連續周期的特點。

當離散的信號為周期序列時，嚴格的講，離散時間傅里葉變換是不存在的，因為它不滿足信號序列絕對級數和收斂（絕對可和）這一傅里葉變換的充要條件，但是采用DFS（離散傅里葉級數）這一分析工具仍然可以對其進行傅里葉分析。

我們知道周期離散信號是由無窮多相同的周期序列在時間軸上組成的，假設周期為N，即每個周期序列都有N個元素，而這樣的周期序列有無窮多個，由于無窮多個 周期序列都相同，所以可以只取其中一個周期就足以表示整個序列了，這個被抽出來表示整個序列特性的周期稱為主值周期，這個序列稱為主值序列。然后以N對應 的頻率作為基頻構成傅里葉級數展開所需要的復指數序列ek(n)=exp(j*2pi*k*n/N)，用主值序列與復指數序列取相關（乘加運算），得出每 個主值在各頻率上的頻譜分量，這樣就表示出了周期序列的頻譜特性。

根據DTFT，對于有限長序列作Z變換或序列傅里葉變換都是可行的，或者說，有限長序列的頻域和復頻域分析在理論上都已經解決；但對于數字系統，無論是Z 變換還是序列傅里葉變換的適用方面都存在一些問題，重要是因為頻率變量的連續性性質（DTFT變換出連續頻譜），不便于數字運算和儲存。

參考DFS，可以采用類似DFS的分析方法對解決以上問題。可以把有限長非周期序列假設為一無限長周期序列的一個主直周期，即對有限長非周期序列進行周期 延拓，延拓后的序列完全可以采用DFS進行處理，即采用復指數基頻序列和此有限長時間序列取相關，得出每個主值在各頻率上的頻譜分量以表示出這個“主值周 期”的頻譜信息。

由于DFT借用了DFS，這樣就假設了序列的周期無限性，但在處理時又對區間作出限定（主值區間），以符合有限長的特點，這就使DFT帶有了周期性。另 外，DFT只是對一周期內的有限個離散頻率的表示，所以它在頻率上是離散的，就相當于DTFT變換成連續頻譜后再對其采樣，此時采樣頻率等于序列延拓后的 周期N，即主值序列的個數。

下面談談DFS，DTFT，DFT，FFT的聯系與區別

DFT與FFT其實是一個本質，FFT是DFT的一種快速算法。

DFS是discrete fourier seriers，對離散周期信號進行級數展開。DFT是將DFS取主值，DFS是DFT的周期延拓。

DTFT是對Discrete time fourier transformation，是對序列的FT，得到連續的周期譜，而DFT，FFT得到是有限長的非周期離散譜，不是一個。

DTFT與DFT的關系

我們知道，一個N點離散時間序列的傅里葉變換（DTFT）所的頻譜是以（2*pi）為周期進行延拓的連續函數，由采樣定理我們知道，時域進行采樣，則頻域 周期延拓；同理，如果在頻域進行采樣，則時域也會周期延拓。離散傅里葉變換（DFT）就是基于這個理論，在頻域進行采樣，一個周期內采N個點（與序列點數 相同） ，從而將信號的頻譜離散化，得到一的重要的對應關系：一個N點離散時間信號可以用頻域內一個N點序列來唯一確定，這就是DFT表達式所揭示的內容。

至于離散傅里葉變換DFT，其實也是對數字信號變換到頻域進行分析處理，它對數字信號處理的作用相當大。數字信號處理脫離了模擬時期對信號進行處理完全依賴 于器件的情況，可以直接通過計算來進行信號處理。如數字濾波器，只是用系統的系數對進入的數字信號進行一定的計算，信號出系統后即得到處理后的數據在時域 上的表達。

離散傅里葉變換在理解上與連續信號的傅里葉變換不太相同，主要是離散信號的傅里葉變換涉及到周期延拓，以及圓周卷積等。

快速傅里葉變換FFT其實是一種對離散傅里葉變換的快速算法，它的出現解決了離散傅里葉變換的計算量極大、不實用的問題，使離散傅里葉變換的計算量降低了 一個或幾個數量級，從而使離散傅里葉變換得到了廣泛應用。另外，FFT的出現也解決了相當多的計算問題，使得其它計算也可以通過FFT來解決。