什么是波導？

直白的講波導就是將能量從一個地方傳到另一個地方的器件。

波導能夠將能量束縛在一個中空的金屬中，這樣能大大降低能量傳輸過程中的損耗，而不是像天線那樣直接將能量輻射到整個空間中。

可以把波導理解成指向性特別強的天線，能量只能在波導能傳播，而不能擴散到別的地方。

波導跟同軸線一樣，是一種傳輸線，波導中有一個很重的要概念叫截止頻率?(cutoff frequency)。

波導中只能傳輸比截止頻率高的能量，而比截止頻率低的能量會很快在波導中衰減掉。

所以波導可以被看成一種高通濾波器。

波導有方波導和圓波導，也有彎曲波導，以方波導為例，講一下波導中的幾個重要的概念。

如上圖所示，波導的長為a，寬為b，其中a>b，假設波導中填充的介質的介電常數為?，磁導率為??，波導中的傳播方向為Z方向，波導截面位于XOY平面。

首先就是前面提到的截止頻率，每個波導都有自己的截止頻率?，頻率高于或等于截止頻率的信號可以在波導中傳輸，頻率低于截止頻率的信號會在波導中衰減。

截止頻率的大小由波導的橫截面的尺寸決定，波導的橫截面越大，截止頻率越低，公式如下所示：

由以上公式可以看出，如果波導是中空的，方波導的介質頻率由長邊a決定。

柱面波導的截止頻率的公式為：

其中r是圓波導的半徑，圓波導的介質頻率由半徑r決定。

波導中還有一個很重要的概念是模式，那什么是波導中的模式呢？

波導中的模式說白了就是波在波導中的“形狀”(The fields within the waveguide always have a specific "form" or "waveshape" to them - these are called modes [3])。

波導中的模式可以分為TE模和TM模，那什么是TE模，什么是TM模呢。

我們知道空間中的電場和磁場都可以分為三個方向分量：x,y,z，我們假設波導的傳播方向為Z方向。

TE模就是電場在傳播方向是分量為零，即?,所有的電場能量都在截面方向。

TM模就是磁場在傳播方向分量為零，即?，所有的磁場能量都在截面方向。

波導中的模式分為模式，i和j分別表示波在長邊a和短邊b方向振蕩了多少次，如圖3所示，電場在橫截面上振蕩了一次就是TE10，在橫截面上振蕩了兩次就是TE20，磁場以此類推。

后面我會詳細通過公式去講解，這里只是一個簡單介紹，有個直觀的感受。

由于邊界條件的限制，波導中沒有TEM模，根據波導提供的邊界條件，亥姆赫茲方程沒有TEM模的解。

波導中場的數學推導

沒有公式推導的講解就是耍流氓。

很少有人喜歡公式推導，但是我認為波導中場的公式推導是很必要的。

因為波導屬于規則物體，可以用經典的分離變量法求解。

講解過程中，我盡量詳細闡述推導過程和每一步的物理意義。

我們可以把波導看成一個無源的區域(source-free region)，根據麥克斯韋方程組的高斯定理：

?(電場散度度為零）

為了簡化運算，我們一般都會將散度為零的矢量場用旋度為零的另一個矢量場來表示（如果不明白的話，可以去看一下電磁場課本的第一章）：

?, 由此可得?

其中?沒有實際物理意義，是拿來簡化運算的，在這里我需要強調一下，大家在推導公式的時候，一定要明白每一步所代表的物理意義。

現在我們假設波導中的場為TE模式（Ez=0）,通過將?寫成標量的形式可以得到波導內的電場分布：

通過麥克斯韋方程組中的法拉第電磁感應定律

因此，如果我們能得到Fz，我們就可以得到波導中的場分布，接下來的任務就是求解Fz

根據麥克斯韋方程組我們知道在一個無源的場中，場矢量滿足波動方程：

在這里我們只需計算Fz，因此，通過以上公式可以得到

?，將換成偏微分的形式?

接下來就是解這個二階偏微分方程了，很明顯這是直角坐標系中的方程，用最基本的分離變量法就可以求解，具體求解過程可以參考入門的電磁場書籍。

很顯然我們需要根據波導的邊界條件求出以上公式中未知數的值，在波導中波導壁上的切向場必然為零，也就是當y=0和b時，?,當x=0和a時，??，從而求得：

從上式中可以看出只有m和n為一定值得場才能在波動中存在，這也就是我們所說的模式，因為我們求解的是TE模式，所以就寫成?，其中m代表在X軸上波震動的次數，n代表在Y軸上波震動的次數。

將Fz帶入之前波導中電場分布的公式中，我們可以得到波導中的TE模式場的分布表達式

磁場分布可以向對應的求解出來，在這里就不羅列了，主要是我太懶了，不想在敲公式了。

從電場分布可以看出，不同的模式的幅度Amn都是各自獨立的。

現在我們就可以求解波導中各種模式的截止頻率了，首先我們知道

將kx和ky帶入得

只有當滿足kz大于等于0的時候，波才能夠傳播，因此我們求得對于不同模式的波在波導中的截止頻率為

模式越高，截止頻率越大。

審核編輯 ：李倩