本文只涉及各種傅利葉之間的概念關(guān)系，不考慮數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性。

一張圖理解各種傅利葉

from Understanding Digital Signal Processing. Richard G. Lyous

a為連續(xù)時(shí)間非周期信號的傅利葉變換，頻譜為連續(xù)非周期譜；（CFT）

b為連續(xù)時(shí)間周期信號的傅利葉級數(shù)，頻譜為離散非周期譜；（FS）

c為離散時(shí)間非周期信號的傅利葉變換，頻譜為連續(xù)周期譜；（DTFT）

c為離散時(shí)間周期信號的傅利葉變換，頻譜為離散周期譜；（CFT）

上面的描述有些蒼白，那怎么理解這張圖呢？

就像電容電感有對偶一樣，時(shí)域和頻域也有對偶的現(xiàn)象。離散時(shí)間信號可以看作是對連續(xù)時(shí)間信號的抽樣；而離散頻譜也可以看作是對連續(xù)頻譜的抽樣。那么上面四組圖的規(guī)律就是：

1. 時(shí)域的周期化對應(yīng)頻域的抽樣化，如(a)與(b)，或(c)與(d)；

2. 時(shí)域的抽樣化對應(yīng)頻域的周期化，如(a)與(c)，或(b)與(d)；

對于這一點(diǎn)的進(jìn)一步理解，有以下簡單說明：

1. 最初的傅利葉級數(shù)的意義為任何周期信號都可以由一系列正弦信號加權(quán)疊加生成，即頻域?yàn)橐幌盗蓄l率，頻域不是連續(xù)的。而時(shí)域的非周期信號可以看作是周期信號將其周期T逐漸加大到無窮大，則頻率間隔1/T逐漸減小到無窮小，即形成了連續(xù)的頻譜；

2. 對連續(xù)時(shí)間進(jìn)行抽樣，則頻譜會(huì)受采樣頻率的影響，因?yàn)橥瑯拥牟蓸訑?shù)據(jù)可以對應(yīng)不同頻率的分量，如下圖所示。即時(shí)域抽樣過程使頻域形成以采樣頻率fs為周期的周期頻譜。

from ircam.fr

以上為理解思路，詳細(xì)內(nèi)容不綴述。

P.S.

DFT與離散時(shí)間周期信號的CFT等效。

各種傅利葉都有其適用范圍，例如，因?yàn)橛?jì)算只能處理離散的數(shù)據(jù)，所以只有DFT是數(shù)字計(jì)算機(jī)可以直接處理的傅利葉變換。

編輯：hfy