一、概述

背包問題是一類比較特殊的動態(tài)規(guī)劃問題，這篇文章的側(cè)重點(diǎn)會在答案的推導(dǎo)過程上，我們還是會使用之前提到的解動態(tài)規(guī)劃問題的四個步驟來思考這類問題。

在講述背包問題之前，首先提及一下，背包類動態(tài)規(guī)劃問題和其他的動態(tài)規(guī)劃問題的不同之處在于，背包類動態(tài)規(guī)劃問題會選用值來作為動態(tài)規(guī)劃的狀態(tài)，你可以回顧下之前我們討論過的動態(tài)規(guī)劃問題，基本上都是利用數(shù)組或者是字符串的下標(biāo)來表示動態(tài)規(guī)劃的狀態(tài)。

針對背包類問題，我們依然可以畫表格來輔助我們思考問題，但是背包類問題有基本的雛形，題目特征特別明顯，當(dāng)你理解了這類問題的解法后，遇到類似問題基本上不需要額外的輔助就可以給出大致的解法，這也就是說，學(xué)習(xí)背包類問題是一個性價比很高的事情，理解了一個特定問題的解法，基本上一類問題都可以直接套這個解法。

二、問題雛形

首先我們來看看這樣一個問題：

有 N 件物品和一個容量為 V 的背包。第 i 件物品的體積是 C[i]，價值是 W[i]。求解將哪些物品裝入背包可使價值總和最大。求出最大總價值

話不多說，我們還是按之前的分析四步驟來看看這個問題：

問題拆解

我們要求解的問題是 “背包能裝入物品的最大價值”，這個問題的結(jié)果受到兩個因素的影響，就是背包的大小，以及物品的屬性（包括大小和價值）。對于物品來說，只有兩種結(jié)果，放入背包以及不放入背包，這里我們用一個例子來畫畫表格：

假設(shè)背包的大小是 10，有 4 個物品，體積分別是 [2,3,5,7]，價值分別是 [2,5,2,5]。

1、如果我們僅考慮將前一個物品放入背包，只要背包體積大于 2，此時都可以獲得價值為 2 的最大價值：

圖一

2、如果我們僅考慮將前兩個物品放入背包，如果背包體積大于或等于 5，表示兩個物體都可放入，此時都可以獲得價值為 2+5=7 的最大價值，如果不能全都放入，那就要選擇體積不超，價值最大的那個：

圖二

3、如果我們僅考慮將前三個物品放入背包，如果背包體積大于或等于 10，表示三個物體都可放入，此時都可以獲得價值為 2+5+2=9 的最大價值，如果不能全都放入，那就要選擇體積不超，價值最大的那個方案：

圖三

4、如果我們考慮將所有物品放入背包，我們可以依據(jù)前三個物品放入的結(jié)果來制定方案：

圖四

這樣，我們就根據(jù)物品和體積將問題拆分成子問題，也就是 “前 n 個物品在體積 V 處的最大價值” 可以由 “前 n - 1 個物品的情況” 推導(dǎo)得到。

狀態(tài)定義

在問題拆解中，我們得知問題其實(shí)和背包的體積還有當(dāng)前考慮的物品有關(guān)，因此我們可以定義dp[i][j]表示 “考慮將前 i 個物品放入體積為 j 的背包里所獲得的最大價值”

遞推方程

當(dāng)我們考慮是否將第 i 個物品放入背包的時候，這里有兩種情況

不放入，也就是不考慮第 i 個物品，那么問題就直接變成了上一個子問題，也就是考慮將 i - 1 個物品放入背包中，這樣當(dāng)前問題的解就是之前問題的解：

dp[i][j]=dp[i-1][j]

如果背包體積大于第 i 個物品的體積，我們可以考慮將第 i 個物品放入，這個時候我們要和之前的狀態(tài)做一個比較，選取最大的方案：

dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-C[i]]+W[i])

實(shí)現(xiàn)

實(shí)現(xiàn)這一環(huán)節(jié)還是主要考慮狀態(tài)數(shù)組如何初始化，你可以看到，我們每次都要考慮 i - 1，另外還要考慮背包體積為 0 的情況，因此初始化數(shù)組時多開一格可以省去不必要的麻煩

publicintzeroOnePack(intV,int[]C,int[]W){ //防止無效輸入 if((V<=?0)?||?(C.length?!=?W.length))?{ ????????return?0; ????} ????int?n?=?C.length; ????//?dp[i][j]:?對于下標(biāo)為?0～i?的物品，背包容量為?j?時的最大價值 ????int[][]?dp?=?new?int[n?+?1][V?+?1]; ????//?背包空的情況下，價值為?0 ????dp[0][0]?=?0; ????for?(int?i?=?1;?i?<=?n;?++i)?{ ????????for?(int?j?=?1;?j?<=?V;?++j)?{ ????????????//?不選物品?i?的話，當(dāng)前價值就是取到前一個物品的最大價值，也就是?dp[i?-?1][j] ????????????dp[i][j]?=?dp[i?-?1][j]; ????????????//?如果選擇物品?i?使得當(dāng)前價值相對不選更大，那就選取?i，更新當(dāng)前最大價值 ????????????if?((j?>=C[i-1])&&(dp[i][j]

這里還有一個空間上面的優(yōu)化，如果你回到我們之前畫的表格，考慮前 i 個問題的狀態(tài)只會依賴于前 i - 1 個問題的狀態(tài)，也就是dp[i][...]只會依賴于dp[i - 1][...]，另外一點(diǎn)就是當(dāng)前考慮的背包體積只會用到比其小的體積。

基于這些信息，我們狀態(tài)數(shù)組的維度可以少開一維，但是遍歷的方向上需要從后往前遍歷，從而保證子問題需要用到的數(shù)據(jù)不被覆蓋，優(yōu)化版本如下：

publicintzeroOnePackOpt(intV,int[]C,int[]W){ //防止無效輸入 if((V<=?0)?||?(C.length?!=?W.length))?{ ????????return?0; ????} ????int?n?=?C.length; ????int[]?dp?=?new?int[V?+?1]; ????//?背包空的情況下，價值為?0 ????dp[0]?=?0; ????for?(int?i?=?0;?i?=C[i];--j){ dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-C[i]]+W[i]); } } returndp[V]; }

這里，因?yàn)槲锲分荒鼙贿x中 1 次，或者被選中 0 次，因此我們稱這種背包問題為01 背包問題。

還有一類背包問題，物品可以被選多次或者 0 次，這類問題我們稱為完全背包問題，這類背包問題和 01 背包問題很類似，略微的不同在于，在完全背包問題中，狀態(tài)dp[i][j]依賴的是dp[i - 1][j]以及dp[i][k] k < j，你可以看看下面的實(shí)現(xiàn)代碼：

publicintcompletePack(intV,int[]C,int[]W){ //防止無效輸入 if(V==0||C.length!=W.length){ return0; } intn=C.length; //dp[i][j]:對于下標(biāo)為0～i的物品，背包容量為j時的最大價值 int[][]dp=newint[n+1][V+1]; //背包空的情況下，價值為0 dp[0][0]=0; for(inti=1;i<=?n;?++i)?{ ????????for?(int?j?=?1;?j?<=?V;?++j)?{ ????????????//?不取該物品 ????????????dp[i][j]?=?dp[i?-?1][j]; ????????????//?取該物品，但是是在考慮過或者取過該物品的基礎(chǔ)之上(dp[i][...])取 ????????????//?0-1背包則是在還沒有考慮過該物品的基礎(chǔ)之上(dp[i?-?1][...])取 ????????????if?((j?>=C[i-1])&&(dp[i][j-C[i-1]]+W[i-1]>dp[i][j])){ dp[i][j]=dp[i][j-C[i-1]]+W[i-1]; } } } //返回，對于所有物品（0～N），背包容量為V時的最大價值 returndp[n][V]; }

類似的，我們還是可以對狀態(tài)數(shù)組進(jìn)行空間優(yōu)化，依據(jù)我們之前討論的狀態(tài)之間的依賴關(guān)系，完全背包的空間優(yōu)化我們直接把狀態(tài)數(shù)組少開一維即可，遍歷方式都不需要改變：

publicintcompletePackOpt(intV,int[]C,int[]W){ if(V==0||C.length!=W.length){ return0; } intn=C.length; int[]dp=newint[V+1]; for(inti=0;i

下面，我們就根據(jù)這兩類背包問題，看看遇到類似的問題我們是否可以套用上面我們介紹的解法。

三、相關(guān)題目實(shí)戰(zhàn)

LeetCode 第 416 號問題：分割等和子集。

題目來源：https://leetcode-cn.com/problems/partition-equal-subset-sum/

題目描述

給定一個只包含正整數(shù)的非空數(shù)組。是否可以將這個數(shù)組分割成兩個子集，使得兩個子集的元素和相等。

注意:

每個數(shù)組中的元素不會超過 100

數(shù)組的大小不會超過 200

示例 1:

輸入:[1,5,11,5] 輸出:true 解釋:數(shù)組可以分割成[1,5,5]和[11].

示例 2:

輸入:[1,2,3,5] 輸出:false 解釋:數(shù)組不能分割成兩個元素和相等的子集.

題目分析

題目給定一個數(shù)組，問是否可以將數(shù)組拆分成兩份，并且兩份的值相等，這里并不是說分成兩個子數(shù)組，而是分成兩個子集。

直觀的想法是直接遍歷一遍數(shù)組，這樣我們可以得到數(shù)組中所有元素的和，這個和必須是偶數(shù)，不然沒法分，其實(shí)很自然地就可以想到，我們要從數(shù)組中挑出一些元素，使這些元素的和等于原數(shù)組中元素總和的一半，“從數(shù)組中找出一些元素讓它們的和等于一個固定的值”，這么一個信息能否讓你想到背包類動態(tài)規(guī)劃呢？

如果你能想到這個地方，再配上我們之前講的01 背包問題的解法，那么這道題目就可以直接套解法了，這里我就不具體分析了。

參考代碼

publicbooleancanPartition(int[]nums){ if(nums==null||nums.length==0){ returnfalse; } intsum=0; intn=nums.length; for(inti=0;i=nums[i];--j){ dp[j]|=dp[j-nums[i]]; } } returndp[target]; }

LeetCode 第 322 號問題：零錢兌換。

題目來源：https://leetcode-cn.com/problems/coin-change

題目描述

給定不同面額的硬幣coins和一個總金額amount。編寫一個函數(shù)來計(jì)算可以湊成總金額所需的最少的硬幣個數(shù)。如果沒有任何一種硬幣組合能組成總金額，返回-1。

示例 1:

輸入:coins=[1,2,5],amount=11 輸出:3 解釋:11=5+5+1

示例 2:

輸入:coins=[2],amount=3 輸出:-1

說明:
你可以認(rèn)為每種硬幣的數(shù)量是無限的。

題目分析

題目給定一個數(shù)組和一個整數(shù)，數(shù)組里面的值表示的是每個硬幣的價值，整數(shù)表示的是一個價值，問最少選擇多少個硬幣能夠組成這個價值，硬幣可以重復(fù)選擇。

雖然這里只有一個輸入數(shù)組，但是我們還是可以看到背包的影子，這里的整數(shù)就可以看作是背包的體積，然后數(shù)組里面的值可以看作是物品的體積，那物品的價值呢？

在這里，你可以形象地認(rèn)為每個物品的價值是 1，最后我們要求的是填滿背包的最小價值，因?yàn)檫@里物品是可以重復(fù)選擇多次的，因此可以歸類于完全背包問題，套用之前的解法就可以解題，唯一要注意的一點(diǎn)是，這里我們不在求最大價值，而求的是最小價值，因此我們需要先將狀態(tài)數(shù)組初始化成無窮大。

參考代碼

publicintcoinChange(int[]coins,intamount){ int[]dp=newint[amount+1]; Arrays.fill(dp,Integer.MAX_VALUE); dp[0]=0; for(inti=0;i

輔助動畫

LeetCode 第 518 號問題：零錢兌換II。

題目來源：https://leetcode-cn.com/problems/coin-change-2/

題目描述

給定不同面額的硬幣和一個總金額。寫出函數(shù)來計(jì)算可以湊成總金額的硬幣組合數(shù)。假設(shè)每一種面額的硬幣有無限個。

示例 1:

輸入:amount=5,coins=[1,2,5] 輸出:4 解釋:有四種方式可以湊成總金額: 5=5 5=2+2+1 5=2+1+1+1 5=1+1+1+1+1

示例 2:

輸入:amount=3,coins=[2] 輸出:0 解釋:只用面額2的硬幣不能湊成總金額3。

示例 3:

輸入:amount=10,coins=[10] 輸出:1

注意:

你可以假設(shè)：

0 <= amount (總金額) <= 5000

1 <= coin (硬幣面額) <= 5000

硬幣種類不超過 500 種

結(jié)果符合 32 位符號整數(shù)

題目分析

這道題目是上一道題目的變形，題目的輸入?yún)?shù)還是不變，變的是最后的問題，這里需要求的是 “有多少種組合方式能夠填滿背包”，我們還是可以套用完全背包的解法，只是最后求解的東西變了，那我們動態(tài)規(guī)劃狀態(tài)數(shù)組中記錄的東西相應(yīng)的改變即可，在這道題中，狀態(tài)數(shù)組中記錄組合成該價值的方案的個數(shù)即可。

參考代碼

publicintchange(intamount,int[]coins){ int[]dp=newint[amount+1]; dp[0]=1; for(inti=0;i

K Sum。

題目描述

給定一個輸入數(shù)組 array，還有兩個整數(shù) k 和 target，在數(shù)組 array 中找出 k 個元素，使得這 k 個元素相加等于 target，問有多少種組合方式，輸出組合方式的個數(shù)。

注：在一種組合方式中，一個元素不能夠被重復(fù)選擇

題目分析

我們之前講過 Two Sum，也提到過 3 Sum，還有 4 Sum，那這道題是否可以套用之前的解法呢？

這里有一個細(xì)節(jié)不知道你是否發(fā)現(xiàn)，就是這道題目僅僅是讓你輸出所有組合方式的個數(shù)，并沒有讓你輸出所有的組合方式，這是決定是否使用動態(tài)規(guī)劃很重要的一點(diǎn)。

如果沒有這個 k，我相信你會很直接地想到使用01 背包問題的解法，那我們可以思考一下，基于原來的解法，如果增加了 k 這個限制，我們需要額外做些什么事情呢？

因?yàn)?k 會決定問題的狀態(tài)，因此我們的狀態(tài)數(shù)組中也要考慮 k，在考慮將第 k 個元素放入背包中，我們需要看的是背包中存放 k - 1 個元素的情況，這么看來，其實(shí)相比普通的01 背包問題，這道題目僅僅是增加了一維狀態(tài)，沒有其他的變化。

參考代碼

publicintkSum(int[]array,intk,inttarget){ int[][]dp=newint[target+1][k+1]; dp[0][0]=1; for(inti=0;i=array[i];--j){ //和普通01背包問題相比，僅僅是多了一層狀態(tài)需要考慮 //這層狀態(tài)記錄的是背包里面元素的個數(shù) //我們放入第r個元素的時候，必須確保背包里面已經(jīng)有r-1個元素 for(intr=1;r<=?k;?++r)?{ ????????????????dp[j][r]?+=?dp[j?-?array[i]][r?-?1]; ????????????} ????????} ????} ????return?dp[target][k]; }

四、總結(jié)

背包類的動態(tài)規(guī)劃問題我們就先講到這里，我們介紹了兩類比較基礎(chǔ)的背包問題，01 背包問題和完全背包問題，解這類問題有既定的模版和思路可以參照，理解了模版問題，也就理解了一類問題，算是學(xué)習(xí)性價比很高的一類動態(tài)規(guī)劃問題。

往往背包類問題可以很好地根據(jù)題目的描述判斷出來，這類問題狀態(tài)的定義也比較特殊，就是用值來作為動態(tài)規(guī)劃的狀態(tài)，我們也用了一些習(xí)題來練習(xí)了一番，相信你對背包問題有了大致的了解，也對動態(tài)規(guī)劃有了更廣的認(rèn)識。