線性回歸是人工智能機器學習里面最基礎的算法。

回歸概念

在介紹線性回歸之前先介紹下什么是回歸。回歸這個概念要追溯到19世紀，最早是由高爾頓提出的，高爾頓是達爾文的表弟，他非常崇拜達爾文，他一生最著名的發現是父輩身高和字輩身高的關系。按照我們日常經驗，高個子的父輩子女也是高個子，矮個子的父輩子女也是矮個子，但大家并沒有發現另外一個規律，就是高個子的父輩子女平均身高要比父輩低，矮個子父輩身高比父輩高，這個叫做‘回歸’平庸，他認為自然界有一種約束力，使得身高的分布不會向高矮兩個極端發展，而是趨于回到中心，所以稱為回歸。

在我們機器學習中的回歸其實就是從樣本數據中找到一個數學模型，找到事物的客觀存在的規律。

如上圖所示，藍色的點為樣本點，假設x軸是房屋面積，y軸是房屋價格，那線性回歸就是找到這樣一條紅色的直線，使得它對所有的樣本做出做好的擬合，也就是距離所有的樣本點平均距離最近，這樣當有新的房屋面積需求時候，估計出來的房屋價格誤差就是最小的。

原理

我們上面看到了，要擬合一條直線符合樣本規律，則需要樣本到這條直線的平均距離最近。那怎么計算這個平均距離呢？

上圖所示，我們就計算每個樣本點到這條直線的‘垂直距離’，注意，是垂直距離，不是點到直線的距離，就是從樣本點向直線做一條平行于y軸的直線。大家看上圖就很快明白。

那這個距離怎么計算呢？這個就需要使用我們中學學過的幾何知識了。

二維坐標下直線的方程為

我們就是求w1和w2 使得每個樣本點到這條直線的平均距離最短

假設樣本點的坐標為（xi，yi）i=1-n，我們總共有n個樣本點。

那所有的樣本最短就要把所有點到直線的距離差計算出來，然后平方（消除負號，當然求絕對值也可以，但計算更加繁瑣）

得到下面公式

這個公式被稱為線性回歸的損失函數，參數是 w0 和w1，yi和xi為樣本數據。我們要求這個公式的最小值。

這個公式的最小值可以對w0 和w1 分別求導數，得到下面公式

這個是一個二元一次方程可以解出來w0和w1的值。這就是最小二乘法的解法。

梯度下降法

上面的解法雖然能夠解出來w0和w1，但計算量很大，容易出錯。在工程上更多是使用梯度下降法進行計算。

如上圖所示，梯度下降法就是從一個起始點出發，不斷的試錯，就像閉眼睛下山一樣，每次都下降一小步，沿著下降最快的方向，也就是梯度最大的方向，不斷的這樣迭代，一直到下降的高度到達一個很小的值，就認為到底谷底了。對凸函數來說，梯度下降法找的極值點就是全局極值點。

梯度下降法是一個迭代算法，主要是找到梯度下降的最大的方向，每次下降的步長是需要程序員自己設置的。如果設置得過大，會導致算法震蕩，如果過小則收斂速度太慢。如下圖的是步長過大跳過了極值點

梯度下降法的計算過程：

α是梯度下降法的步長，兩個式子分布是對w0和w1求偏導數。