22.6.1.1。從離散到連續

要了解在處理連續隨機變量時遇到的其他技術挑戰，讓我們進行一個思維實驗。假設我們正在向飛鏢盤扔飛鏢，我們想知道它準確命中的概率2cm 從董事會的中心。

首先，我們想象測量一個精度的個位數，也就是說用 bins for0cm,1cm, 2cm， 等等。我們扔說100在飛鏢板上飛鏢，如果20他們落入垃圾箱 2cm我們的結論是20%我們投擲的飛鏢擊中了棋盤2cm遠離中心。

然而，當我們仔細觀察時，這與我們的問題不符！我們想要完全相等，而這些箱子容納了介于 say 之間的所有東西 1.5cm和2.5cm.

沒有氣餒，我們繼續更進一步。我們測量得更精確，比如說 1.9cm,2.0cm,2.1cm，現在看到也許3的100飛鏢擊中棋盤2.0cm桶。因此我們得出結論概率是 3%.

但是，這并不能解決任何問題！我們剛剛將問題進一步降低了一位數。讓我們抽象一點。想象一下，我們知道第一個k數字匹配 2.00000…我們想知道它匹配第一個的概率k+1數字。可以相當合理地假設 k+1th數字本質上是從集合中隨機選擇的{0,1,2,…,9}. 至少，我們無法想象一個物理上有意義的過程會迫使遠離中心的微米數更喜歡以一個結束7對一個 3.

這意味著本質上，我們要求的精度每增加一位，匹配概率就會降低一個因子 10. 或者換句話說，我們期望

價值p本質上編碼了前幾位數字發生的事情，以及10?k處理其余部分。

請注意，如果我們知道位置準確到k=4小數點后的數字，這意味著我們知道該值落在區間內 [1.99995,2.00005]這是一個長度區間 2.00005?1.99995=10?4. 因此，如果我們稱這個區間的長度?， 我們可以說

讓我們更進一步。我們一直在思考的重點2整個時間，但從不考慮其他點。根本上沒有什么不同，但情況是價值p可能會有所不同。我們至少希望飛鏢投擲者更有可能擊中中心附近的一個點，比如 2cm而不是20cm. 因此，價值 p不是固定的，而是應該取決于點x. 這告訴我們，我們應該期望