0 前面的話

這篇文章肝了好久，控制有時候給人的感覺是披著數學外衣的，但是脫下外衣，發現還是控制，本文有一些基本的推導，無非是為最后的算法C實現做鋪墊，最終目的是能在實踐中進行應用和系統調優。

目錄

0 前面的話

目錄

1 先說噪聲

2 噪聲對于系統的影響

3 對于PID控制器的影響

4 加入濾波器

4.1 傳遞函數

4.2 串聯微分的等效形式反饋積分

5 C語言實現

6 參考

1 先說噪聲

在電子設備等電路系統中，噪聲是不被系統需要的電信號；電子設備產生的噪聲會由于多種不同的影響而產生很大的差異。在通信系統中，噪聲是一個錯誤或不希望出現的隨機干擾從而作用于有效的信號。

2 噪聲對于系統的影響

噪聲出現的第一個場景，當我們在教室里做英語聽力，然后旁邊的同學手機忽然來了一條短信，這時候往往可以聽到放英語聽力的喇叭會被干擾，然后會發出嗶嗶嗶的聲音；

下面是一個正弦信號跌加噪聲的例子，在原始信號上疊加一定幅度的高斯噪聲，可以看到信號不再像原來的正弦信號那樣完美，具體如下圖所示；

或者，很久很久以前，數字電視還沒有普及，那時候的顯像管的黑白電視，也容易出現這樣的雪花一樣的噪聲，疊加在圖片上就會出現這樣的效果，具體如下圖所示；

從上述的例子中可以看到，噪聲往往會對系統造成一定程度的影響，但是如果噪聲的幅度減小到一定程度，對于系統的影響可能就沒有那么容易被發現。

下面做一個實驗；在一張黑色圖片上疊加幅度很小幅度的高斯噪聲；從第二張圖片中發現噪聲沒有影響到整體圖片；

然后我嘗試提高了整幅圖片的亮度，發現，噪點便開始出來了，這像極平時那些槍版影片的馬賽克畫質；整體的實驗結果如下圖所示；

3 對于PID控制器的影響

既然噪聲的幅度減小到一定程度，對于系統的影響可能就沒有那么容易被發現，那么對理想的PID控制器又有什么影響呢？

不要忘了，在理想PID控制器中，微分控制器會對偏差的變化率（斜率）進行累加，從而產生積分器的輸出；

對于微分器來說，即使噪聲幅度足夠小，但是只要達到足夠高頻率，偏差的變化率一樣可以變得很大，下面舉個例子；

這里有一個固定頻率和賦值的噪聲為信號1，這個信號可以表示為：

于是我們嘗試將信號1的幅度減半，頻率變為原來的兩倍，得到了信號2：

以此類推，在信號2的基礎上，幅度再減半，頻率乘以2，得到信號3：

簡單畫了一下這個信號，具體如下圖所示；

假設分別取三個信號位于該點的斜率，從圖中可以看到，斜率1，斜率2，斜率3是相同的，簡單驗證一下，在時刻，可以得到：

所以這里就是求復合函數的微分，由于選取的點比較特殊，發現最終計算得到的結果，因此也可以發現，即使減小了噪聲的幅度，但是對于較高頻率的噪聲，依然會產生較大斜率。

遇到高頻噪聲，那么微分器會產生較大的輸出，從而最終對系統造成影響，這是我們不希望出現的結果，因此在反饋回路中并不希望高頻噪聲進入PID控制器的計算，這里就需要低通濾波器將噪聲濾除。

4 加入濾波器

低通濾波器可以濾除高頻信號，這樣保留了有效信號，可以設置所需的截止頻率；系統處理有效信號，由于低頻部分信噪比較高，因此噪聲對于系統的影響較小，而高頻部分，信噪比就很低，這時候對于系統來說，噪聲就會造成不小的影響，具體如下圖所示；

信噪比：有效信號和噪聲的比值，英文名稱叫做SNR或S/N（SIGNAL-NOISE RATIO)；

所以下面我們會在PID控制器的微分部分加入低通濾波器，這樣對反饋的信號進行一部分處理，從而減小系統干擾，如下圖所示；

4.1 傳遞函數

概念：拉普拉斯變換是對于 函數值不為零的連續時間函數 通過關系式 (式中為自然對數底的指數)變換為復變量的函數。它也是時間函數的“復頻域”表示方式。

也就是說拉式變換可以將時域關系變換到頻域中，這樣可以便于系統進行分析。

下面是本文下面會用到的時域函數對應的拉普拉斯變換：

積分：

微分：

低通濾波器的傳遞函數：

低通濾波器中的截止頻率即為，單位是；

4.2 串聯微分的等效形式反饋積分

串聯等效傳遞函數的關系為，兩個方框串聯等于各個方框傳遞函數的乘積；具體如下所示；

因此低通濾波串聯微分的傳遞函數為：

閉環負反饋的等效傳遞函數的關系如下所示；

這里我們可以使用負反饋積分的方式，構建等效于串聯微分的傳遞函數，最終的傳遞函數結果是相同的，具體如下圖所示；

串聯微分的形式，可能在算法的實現上會更加直觀，但是會比較費資源；

使用負反饋積分的等效形式進行實現，則進一步減少了算法的資源消耗，下面給出一個TI公司的PID算法實現就是通過負反饋積分的等效形式進行實現的。

5 C語言實現

這里直接使用了TI公司的PID算法，對于微分部分做了濾波的處理，并且使用的是負反饋積分的方式，具體可以參考controlSUITElibsapp_libsmotor_controlmath_blocksv4.2pid_grando.hPID控制器的整體框圖如下所示，我們只關心微分部分；

首先可以發現滿足：

這里濾波器有兩個系數和，它們必須滿足截止頻率（單位Hz）和采樣周期（單位秒）以下的關系：

C語言實現如下：

/*================================================================================= Filename:PID_GRANDO.H ===================================================================================*/ #ifndef__PID_H__ #define__PID_H__ typedefstruct{_iqRef;//Input:referenceset-point _iqFbk;//Input:feedback _iqOut;//Output:controlleroutput _iqc1;//Internal:derivativefiltercoefficient1 _iqc2;//Internal:derivativefiltercoefficient2 }PID_TERMINALS; //note:c1&c2placedheretokeepstructuresizeunder8words typedefstruct{_iqKr;//Parameter:referenceset-pointweighting _iqKp;//Parameter:proportionalloopgain _iqKi;//Parameter:integralgain _iqKd;//Parameter:derivativegain _iqKm;//Parameter:derivativeweighting _iqUmax;//Parameter:uppersaturationlimit _iqUmin;//Parameter:lowersaturationlimit }PID_PARAMETERS; typedefstruct{_iqup;//Data:proportionalterm _iqui;//Data:integralterm _iqud;//Data:derivativeterm _iqv1;//Data:pre-saturatedcontrolleroutput _iqi1;//Data:integratorstorage:ui(k-1) _iqd1;//Data:differentiatorstorage:ud(k-1) _iqd2;//Data:differentiatorstorage:d2(k-1) _iqw1;//Data:saturationrecord:[u(k-1)-v(k-1)] }PID_DATA; typedefstruct{PID_TERMINALSterm; PID_PARAMETERSparam; PID_DATAdata; }PID_CONTROLLER; /*----------------------------------------------------------------------------- DefaultinitalisationvaluesforthePIDobjects -----------------------------------------------------------------------------*/ #definePID_TERM_DEFAULTS{ 0, 0, 0, 0, 0 } #definePID_PARAM_DEFAULTS{ _IQ(1.0), _IQ(1.0), _IQ(0.0), _IQ(0.0), _IQ(1.0), _IQ(1.0), _IQ(-1.0) } #definePID_DATA_DEFAULTS{ _IQ(0.0), _IQ(0.0), _IQ(0.0), _IQ(0.0), _IQ(0.0), _IQ(0.0), _IQ(0.0), _IQ(1.0) } /*------------------------------------------------------------------------------ PIDMacroDefinition ------------------------------------------------------------------------------*/ #definePID_MACRO(v) /*proportionalterm*/ v.data.up=_IQmpy(v.param.Kr,v.term.Ref)-v.term.Fbk; /*integralterm*/ v.data.ui=_IQmpy(v.param.Ki,_IQmpy(v.data.w1, (v.term.Ref-v.term.Fbk)))+v.data.i1; v.data.i1=v.data.ui; /*derivativeterm*/ v.data.d2=_IQmpy(v.param.Kd,_IQmpy(v.term.c1, (_IQmpy(v.term.Ref,v.param.Km)-v.term.Fbk)))-v.data.d2; v.data.ud=v.data.d2+v.data.d1; v.data.d1=_IQmpy(v.data.ud,v.term.c2); /*controloutput*/ v.data.v1=_IQmpy(v.param.Kp, (v.data.up+v.data.ui+v.data.ud)); v.term.Out=_IQsat(v.data.v1,v.param.Umax,v.param.Umin); v.data.w1=(v.term.Out==v.data.v1)?_IQ(1.0):_IQ(0.0); #endif//__PID_H__

6 參考

https://en.wikipedia.org/wiki/Low-pass_filter

自動控制原理 第五版 胡壽松 P47

雖然寫的不一定是最好，但是每一個字、每一個公式都是用心碼的，每一張圖都是用心畫的，每一句話都是加入了自己的理解；另外筆者能力有限，文中難免存在錯誤和紕漏，望輕拍指正。

責任編輯：xj

原文標題：PID微分器與濾波器的愛恨情仇

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